第一百三十九章 二试
云泽省的数学竞赛队伍在老孟的带领下开始返航。 路上遇到了一群来自其他省的选手们。 “呜呜呜，郭老师，我不配去清北……” “老郭你说得对，我只配上江城这种二流的垃圾学校，我回去就改志愿。” …… 这似曾相识的对话。 怎么说好呢？ 只能说，博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个、嗯，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点…… 这个映射定理应用到人生也是一样的啊！ 伊诚在内心发出一声感叹。 换句话说，幸福的人生各有各的幸福。 不幸的人生总是相似。 …… 回到酒店之后，孟老师根据选手们的回忆，记录题目，并且为大家进行复盘。 …… 第二天，二试开始。 从8点半到12点半。 时间依旧是4个半小时。 每题依然是21分。 考场内纸笔沙沙作响。 就像是下雨一样。 只不过这种润物细无声式的安静，比真实的战场更加可怕。 在伊诚这个考场内，40个顶尖的大脑进入了心流模式。 第一题送分题： 证明：当素数a大于等于7时，a^4-1能被240整除。 题目非常简单。 是个参加奥数比赛的学生都会。 一般情况下都会照顾选手们的自尊，所以题目不会出得太难。 这题确实是送分题。 整除相关的数论理论就那么多。 伊诚只瞟了一眼就知道这题该用费马小定理。 其他人不可能不知道。 伊诚不指望靠它拉分，只希望后面两道题能难一些。 最起码不要低于昨天切蛋糕的水准。 费马这个人举世闻名，因为他在读丢番图这本书的时候，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 这就是非常有名的费马大定理，从1637年开始，一直到1986年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了最后的证明。 也因为费马皮了那么一下，之后出版的数学书后面都会留出一页空白，防止别人有借口说写不下。 费马是一个改变了数学史和数学教材制作的人。 但是，很多人其实不怎么熟悉费马小定理。 或者说不是从事数学专业的人很少听说过费马小定理。 这个东西是跟欧拉定理、中国的孙子定理和威尔逊定理一起并成为数论四大定理的可怕存在。 所以，费马小定理讲述了一个什么事情呢？ 它说： 如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^≡1 …… 那么这题的证明就非常简单了。 伊诚不假思索，提笔写到—— 证： 素数a大于等于7，a是奇数。 又a^4-1= 且…… 通过费马小定理有： =1 =1 所以…… 最后得证： 240| …… 花了10分钟的时间，伊诚证明完第一题，开始攻略第二题。 这题有两问： 【假设你生活在13世纪的罗马，你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。 现在国王要你让测量出他身上的一件东西。 这件物品的重量在1到88克之间。 1、你是否能做到？甚至少了任何一个砝码也能做到这一点？ 2、加入砝码数量增加到12个，其中可以有相同重量的砝码，用天平量出国王给你的一件物品。 这件物品在1-59克之间。 你是否能做到，甚至少了任何两个砝码也能做到这一点？】 伊诚看完了题目，心中至少有4种不同的证明方式。 但是这题有点奇怪的地方在于—— 它规定了时代背景。 你生活在13世纪，并且是欧洲。 这个时期的欧洲数学还比较落后，它刚从衰落阶段开始复苏。 所以伊诚能用来证明题目的方法，也只能是这个时期以前的。 他先尝试对题目进行拆解—— 取n个砝码，记第i个砝码的重量为Fi 对于重量为w的物体，可以用n个砝码测出它的重量。 当n=1时，F3=F2 F1=2 于是，F3-1=1，w=1时，显然可以测出。 然后再讨论n和n 1时的情况…… 通过归纳假设…… 可以得到第1问的证明。 在这里，通过多次枚举之后，伊诚发现了一些规律—— 真是美丽的数字关系。 如此美丽的数字关系，只有一种东西可以解释： 斐波那契数列。 斐波那契是13世纪初的数学家，运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。 所以，当发现规律为斐波那契数列之后，对于第2问就简单得多了。 伊诚提笔写到—— 构造广义斐波那契数列： g=g g=g=g=1. 用归纳假设，可以说明对于这样的n个砝码，即使任意去掉其中的两个，仍然能称出重量1到g-1的物体。 而g=60. 所以第二问得证。 可以找到满足题意的12个砝码称量1-59范围内的物体。 答完题。 伊诚闭上眼睛，细细地品味着。 不得不说出题人真的很棒。 至少他让人在这道题目中领略了什么是数学之美。 不单单是因为斐波那契数列是黄金分割，本身就具有艺术美感。 更关键的是，这题反应了从探索到猜想，再到证明的数学之美。 啧啧。 伊诚砸吧着嘴唇，在陶醉了一番后，继续攻克最后一道大题。 现在时间才过去了三分之一。 最后一题是一道证明题： 设S为R^3中的抛物面z=/2，P为S外一固定点，满足a^2 b^2大于2C，过P点作S的所有切线。 证明：这些切线的切点落在同一平面上。 本来以为是压轴题，应该有点难度，但是伊诚稍加思索，发现这题并不难。 在几何中，有一个非常厉害的王者咖喱棒。 它就是向量。 只要使用向量这把咖喱棒，就能把一切都斩于无形。 伊诚略加思索，运用向量把题目证明完毕。 完了以后，他发现了一个神奇的事情—— 这道题目不只是在二维平面上是可证的，甚至可以推广到二次曲面上。 于是伊诚又用向量证明了二次曲面的推广命题。 做完这些，伊诚在想，既然二次曲面也是可行的，那么有没有可能推广到3次？ 当他忘乎所以，在草稿纸上进行更高维度的推广时—— 考试时间结束了。 按照竞赛的要求，考官会把考卷连同草稿纸一起密封进行考核。 伊诚一脸茫然，对最后的步骤没有做完耿耿于怀。 “这次不像你啊！” 在赛场门口，李安若抱着双手嘲讽到。 “你不是次次都是第一个交卷的吗？”